В кино начал сниматься ещё будучи студентом Ленинградского Военно-механического института (закончил в 1957 году). Он появился на экране в роли Вали Солнцева в картине "Первый эшелон". Работая инженером-конструктором на одном из ленинградских заводов, Кожевников снимался в фильмах "На острове Дальнем", "Они встретились в пути", "Повесть о молодожёнах". Роль Вити Громобоева в "Неподдающихся" стала "счастливым билетом" в кино: Алексей Кожевников уходит с завода и становится штатным актёром киностудии "Ленфильм".
Заслуженный артист РСФСР (1980).
Его последней работой стала роль в музыкальной комедии "Джек Восьмёркин - американец", которая вышла уже после его смерти.
Ушёл из жизни в Ленинграде 6 сентября 1986 года. Похоронен актёр на Большеохтинском кладбище.
