|
|
Андрей Титов: Диалектические аспекты развития современной математики и математической логики.
Назад
|
Андрей Титов: Диалектические аспекты развития современной математики и математической логики.
|
"Все, что нас окружает, может рассматриваться
как пример диалектики." [1]
Математика относится к циклу формальных наук, в которых не действуют принципы спекулятивной философии Г.В.Ф.Гегеля. Основу логики доказательства в математике долгое время составляли законы исключенного третьего и противоречия.
В то же время взаимодействие различных сторон логики в интерпретации Г.В.Ф. Гегелея выглядит следующим образом: "Логическое по своей форме имеет три стороны: а) абстрактную, или рассудочную, б) диалектическую, или отрицательно-разумную, в) спекулятивную, или положительно-разумную. Эти три стороны не составляют трех частей логики, а суть моменты всякого логически реального, т.е. всякого понятия или всего истинного вообще. Все они могут быть положены в первом моменте, в моменте рассудочности, и благодаря этому могут быть удерживаемы в своей обособленности, но в этом виде они рассматриваются не в их истине." [1].
В математике как формальной науке логическое сосредоточено на моменте рассудочности.
Однако, ход развития математического знания выводит ее за пределы рассудочной логики, что отмечено и Г.В.Ф.Гегелем: "Трансцендентное есть вообще то, что выходит за пределы определенности рассудка и в этом смысле встречается впервые в математике" [2] Следует так же отметить, что те результаты, которые в математике в ходе ее развития выходят за пределы рассудочного зачастую не сразу воспринимается и самим математическим сообществом. И в этом смысле обращение к философии Г. В.Ф. Гегеля могло бы способствовать более легкому их вхождению в структуру математического знания, а возможно и видоизменить ее.
И примеры этого приведены самим Гегелем. В частности, раскрывая причины, по которым рассудочное мышление считает начало или становление чем -то непостижимым, он утверждает, что при этом создается противоречие, суть которого в упразднении начала или становления, которое, затем, снова допускают и невозможность разрешения этого противоречия и называют непостижимостью. И, в частности: "Изложенное выше и есть та же диалектика, какой пользуется рассудок против даваемого высшим анализом понятия бесконечно малых величин. Это понятие будет рассмотрено ниже. - Величины эти определены как величины, существующие в своем исчезновении - не до своего исчезновения, ибо в таком случае они конечные величины, и не после своего исчезновения, ибо в таком случае они ничто. Против этого чистого понятия было выдвинуто постоянно повторяющееся возражение, что такие величины суть либо нечто, либо ничто и что нет промежуточного состояния ("состояние" здесь неподходящее, варварское выражение) между бытием и небытием. - При этом опят - таки признают абсолютную раздельность бытия и ничто. Но против этого было сказано, что бытие и ничто суть на самом деле одно и то же или, говоря языком выдвигающих это возражение, нет ничего такого, что не было бы промежуточным состоянием между бытием и ничто. Математика обязана своими самыми блестящими успехами тому, что она приняла то определение, которого не признает рассудок." [1]
Следует отметить, что полемика о природе и законности бесконечно малых величин в математике продолжалась долгое время и их актуализация произошла лишь в рамках нестандартного анализа во второй половине 20-го века, т.е. через полтора столетия после приведенного выше высказывания.
Возможно, что заинтересованное отношение к работам Гегеля могло бы помочь математикам и в раскрытии природы парадоксов, аналогичных парадоксу Рассела, в котором, как известно, появляется множество с противоположными свойствами, т.е. такое множество R, что R?R и в то же самое время R?R. Однако по своему построению множество R есть "множество всех множеств", к которому можно отнести следующее замечание Гегеля: "Если же, напротив, брать реальность в ее определенности, то ввиду того, что она содержит как нечто сущностное момент отрицательности, совокупность (Inbegriff) всех реальностей становится так же совокупностью (Inbegriff) всех отрицаний, совокупностью (Inbegriff) всех противоречий, прежде всего абсолютной мощью (Macht), в которой все определенное поглощается; но так как сама эта мощь имеется лишь постольку, поскольку она имеет против себя нечто, еще не снятое (Aufgehobenes), то, когда ее мыслят как мощь, ставшую осуществленной, беспредельной, она превращается в ничто. То реальное во всяком реальном, бытие во всяком наличном бытии, которое будто бы выражает понятие Бога, есть не что иное, как абстрактное бытие, то же, что и ничто." [1]
Одним из важнейших понятий в философии Г.В.Ф.Гегеля по его же собственным словам является понятие снятия (Aufheben) "одно из главных определений, которое встречается решительно всюду и смысл которого следует точно понять и в особенности отличать его от ничто." [1]
Нечто, снимая себя, не превращается в ничто. Это значит, отрицание отрицания не есть простой возврат к простому началу, следовательно принятое в классической математической логике А=А как и упомянутые выше законы исключенного третьего и противоречия могут оказаться предметом критического анализа. Следовательно, обращение к философии Гегеля при анализе вариантов неклассического логического исчисления или точнее, при анализе форм формальной логики, к которым могут относиться как классическое, так и не классические типы исчисления, может облегчить как сам анализ, так и конструирование таких исчислений. В работах [3,4], в частности предлагается классифицировать логические исчисления по типам структур, на которых принимает значение оценка. В основе этого подхода лежит положение о зависимости характера формальной логики от семантики оценки, которое прослеживается в как в философских трудах, так и в работах ведущих математиков.
"Но, во-первых, неудачно уже утверждение, что логика абстрагируется от всякого содержания, что она только учит правилам мышления, не имея возможности вдаваться в рассмотрение мыслимого и его характера. В самом деле, если, как утверждают, ее предмет - мышление и правила мышления, то она непосредственно в них имеет свое, ей лишь свойственное содержание; в них она имеет и вторую составную часть познания, некую материю, характер которой ее интересует." [2]
"Принципы классической логики представлены в Set операциями на некотором множестве - двухэлементной булевой алгебре. Каждый топос имеет аналог этой алгебры, и поэтому можно сказать, что каждый топос определяет свое собственное логическое исчисление. Оказывается, что это исчисление может отличаться от классической логики, и вообще логические принципы, имеющие место в топосе, есть принципы интуиционистской логики". [5]
"В центре нашего внимания будет попытка установить связь фактического, или семантического отношения следования...с чисто формальным отношением выводимости,.."[6]
И такую зависимость можно проследить опираясь при анализе оценки на особенность отрицания отрицания при различном выборе структур значений оценки. При этом, следуя положениям философии Гегеля, необходимо помнить, что отрицание отрицания не есть просто отсутствие отрицания но есть снятие отрицания, т.е. опосредовано отрицаемым.
Рассмотрим пример того, как особенности структуры значений оценки влияют на общезначимость формулы А=А. Как известно, для интерпретации законов интуиционистской логики Тарский предложил рассматривать оценки, значением которых являются открытые множества топологического пространства.
Рассмотрим плоскость, разделенную осью Х. Пусть А - множество точек "верхней" половины плоскости Х., тогда если нет никакой дополнительной структуры и рассматривается только совокупность точек плоскости, то ?А- отрицание А содержит все точки плоскости находящиеся вне А, т.е. точки оси Х и оставшейся полуплоскости. Теперь снимаем это отрицание, т.е. снимается включение всех точек Х и полуплоскости, следовательно, возвращаемся снова в А. Снятие здесь формально возвращает нас к первоначальному состоянию.
Дополним плоскость структурой топологии. Выберем в качестве А полуплоскость вместе с осью Х. Отрицание А есть оставшаяся полуплоскость как открытое множество. Отрицание отрицания А в этом случае, однако есть уже не прежнее множество, т.к. оно не открыто в топологии, но оставшаяся полуплоскость без оси Х, т.е. и отрицание отрицания отлично от исходного множества, включено в него. В данном случае снятие отрицания изменяет исходное множество, внося в него структурное свойство отрицания - топологию. Выбирая в качестве значений оценки замкнутые множества топологического пространства и проводя аналогичные рассуждения получим А-А, т.е что отрицание отрицания включает в себя исходное множество.
Но, поскольку мы предположили, что А относится к области значений оценок, то эти виды отрицаний дают разные типы формального исчисления.
В данном случае отличие снятии от ничто проявляется в сохранении "структурного свойства отрицания" после его снятия, которое и индуцирует различные формы логики в виде исчислений.
Таким образом, можно сказать, что в развитии математического знания существенную роль играют диалектические и спекулятивные элементы, способствующие появлению понятий выходящих за рамки рассудочной логики. Но диалектическое в развитии математики носит спонтанный характер и скорее вносит тревогу в математическое сообщество, принятие его результатов носит вынужденный характер. В этой связи представляется и к математике применить тезис Гегеля прозвучавший в отношении научного знания вообще, тем более, что само развитие математики, как видим, подверждает его принципиальную значимость.: "Существенная точка зрения состоит в том, что следует вообще заняться новым понятием научного рассмотрения." [1]
Литература:
1. Г.В.Ф. Гегель. Энциклопедия философских наук. т.1.
2. Г.В.Ф. Гегель. Наука логики. СПб, "Наука", 1997.
3. А.В.Титов. Семантический анализ логических исчислений// Материалы Второй международной научной конференции "Философия математики актуальные проблемы".М, МГУ.2009. сс. 140-144.
4. А.В.Титов. Построение классической и неклассической теорий алгебраической системы выбором эквивалентности на значениях оценки//Материалы международной конференции "Шестые Смирновские чтения по логике". М. 2009, сс.36-38
5. Р.Гольдблат. Топосы. Категорный анализ логики. М."Мир" 1983. с.16.
6. Р.Линдон. Заметки по логике. М. "Мир", 1968.
ПОЛНЫЙ ТЕКСТ (с формулами) ЧИТАЙТЕ В ПРИЛОЖЕНИИ
Viperson
Док. 639125
Опублик.: 03.05.11
Число обращений: 0
Титов Андрей Валентинович
|
|
|
