Оптимальная матричная коррекция несовместных систем линейных алгебраических уравнений с блочными матрицами коэффициентовНазад
Оптимальная матричная коррекция несовместных систем линейных алгебраических уравнений с блочными матрицами коэффициентов
В. А. Горелик(а), В. И. Ерохин(b), Р. В. Печенкин(c)
a Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН
b Борисоглебский государственный педагогический институт
c Московский педагогический государственный университет
Аннотация: Рассматриваются задачи матричной коррекции матриц (расширенных матриц) несовместных систем линейных алгебраических уравнений с блочной структурой с критериями качества коррекции двух типов: по минимуму суммы квадратов взвешенных евклидовых норм блоков матрицы коррекции и по минимуму квадрата максимальной взвешенной евклидовой нормы блока матрицы коррекции.
Задачи обоих типов исследуются как с условием неотрицательности решения скорректированной системы, так и без него. Задачи первого типа сведены к вспомогательным задачам минимизации сумм дробно-квадратичных функций в зависимости от вида исходной задачи, содержащей ограничения в виде системы линейных неравенств или нет. Для целевых функций вспомогательных задач аналитически получены частные производные первого и второго порядка, что позволяет проводить безусловную минимизацию методом Ньютона, а условную - градиентными методами. Задачи второго типа сведены к вспомогательным задачам поиска минимакса на некотором наборе дробно-квадратичных функций. Они также либо содержат ограничения в виде системы линейных неравенств, либо являются безусловными. Для решения указанных задач предлагается использовать разработанную В.Ф. Демьяновым и В.Н. Малоземовым минимаксную версию метода наискорейшего спуска или её модификацию, учитывающую наличие ограничений в виде системы линейных неравенств.
Для задач безусловной матричной коррекции по минимуму суммы квадратов взвешенных евклидовых норм показано, что необходимым условием их разрешимости является полнота столбцевого ранга корректируемой блочной матрицы.
Все рассмотренные задачи матричной коррекции проиллюстрированы численными примерами.
