Владимир Арнольд: Математические модели перестройкиНазад
Владимир Арнольд: Математические модели перестройки
Самые простые и самые общие математические модели этой сильно нелиней-
ной ситуации приводят нас к выводам, которые могут показаться неожи-
данными для управленцев, привыкших иметь дело с линейными системами, в
которых результаты пропорциональны усилиям.
Я воспроизведу здесь описание этих выводов из третьего издания моей
книжки "Теория катастроф" (М.: Наука, 1990) (в предыдущих изданиях эти
выводы поместить не удавалось по причинам, исчезнувшим - надеюсь, не
только временно - вследствие самой перестройки).
Рассмотрим нелинейную систему, находящуюся в установившемся устойчивом
состоянии, признанном плохим, поскольку в пределах видимости имеется
лучшее, предпочтительное устойчивое состояние системы 5.
Вот некоторые простейшие выводы:
1. Постепенное движение в сторону лучшего состояния сразу же приводит
к ухудшению. Скорость ухудшения при равномерном движении к лучшему
состоянию увеличивается.
2. По мере движения от худшего состояния к лучшему сопротивление сис-
темы изменению ее состояния растет.
3. Максимум сопротивления достигается раньше, чем самое плохое состоя-
ние, через которое нужно пройти для достижения лучшего состояния. Пос-
ле прохождения максимума сопротивления состояние продолжает ухудшать-
ся.
4. По мере приближения к самому плохому состоянию на пути перестройки
сопротивление, начиная с некоторого момента, начинает уменьшаться, и
как только самое плохое состояние пройдено, не только полностью исче-
зает, но система начинает притягиваться к лучшему состоянию.
5. Величина ухудшения, необходимого для перехода в лучшее состояние,
сравнима с финальным улучшением и увеличивается по мере совершенство-
вания системы. Слабо развитая система может пройти в лучшее состояние
почти без предварительного ухудшения, в то время как развитая система,
в силу своей устойчивости, на такое постепенное, непрерывное улучшение
не способна.
6. Если систему удастся сразу, скачком, а не непрерывно, перевести из
плохого устойчивого состояния достаточно близко к хорошему, то дальше
она будет сама собой эволюционировать в сторону хорошего состояния.
С этими объективными законами функционирования нелинейных систем нель-
зя не считаться. Выше сформулированы лишь простейшие качественные вы-
воды. Теория доставляет также количественные модели, но качественные
выводы представляются более важными и в то же время более надежными:
они мало зависят от деталей функционирования системы, устройство кото-
рой и численные параметры могут быть недостаточно известными.
Наполеон критиковал Лапласа за "попытку ввести в управление дух беско-
нечно малых"6. Математическоя теория перестроек - это та часть совре-
менного анализа бесконечно малых, без которой сознательное управление
сложными и плохо известными нелинейными системами практически невоз-
можно.
Следующее явление хорошо известно в теории управления техническими
системами. Я опишу его в самой простой модели, лишь заменяя техничес-
кие термины человеческими. Пусть производство какого-либо продукта, х,
управляется некоторым руководителем, принимающим решение о скорости
производства. В свою очередь, поведение руководителя управляется руко-
водителем второго ранга, принимающим решение о скорости изменения ско-
рости производства, и так далее, до генерального руководителя n-го
ранга. Генеральный руководитель в нашей модели реализует обратную
связь: его решение основывается не на желании выполнить приказ началь-
ства (как у руководителей предыдущих рангов), а на интересах дела.
Математический анализ этой и других подобных ей моделей приводит к вы-
воду: многоступенчатое управление, описываемое нашей моделью при n,
большем двух, неустойчиво. Двухступенчатое управление приводит к пери-
одическим колебаниям, но не вызывает катастрофического нарастания ко-
лебаний, происходящего при трех- и более ступенчатом управлении.
Настоящую устойчивость обеспечивает только одноступенчатое управление,
при котором управляющее лицо более заинтересовано в интересах дела,
чем в поощрении со стороны начальства. Длительное и, по-видимому, ус-
тойчивое функционирование системы многоступенчатого управления в СССР
объяснялось, вероятно, неисполнением директивных указаний и существо-
ванием "теневой" системы заинтересовывания управляющих различных ран-
гов в интересах дела. Без такой реальной заинтересованности (которая в
современных условиях уже не обязательно обеспечивается коррупцией)
многоступенчатое управление всегда ведет к разрухе. К счастью, необхо-
димость в независимости Центробанка уже хорошо понята, но многоступен-
чатое ("административное") управление сохраняется во многих других
случаях.
Описанная выше модель управления является "мягкой" в том смысле, что,
хотя целый ряд подробностей (например, вид обратной связи) в ней не
уточнен, выводы остаются справедливыми для многих различных "жестких"
моделей, в которых эти подробности фиксированы.
Теория мягкого моделирования - это искусство получать относительно на-
дежные выводы из анализа малонадежных моделей.
* Статья подготовлена на основе доклада "Жесткие" и "мягкие" математи-
ческие модели", прочитанного на семинаре "Аналитика в государственных
учреждениях".
1 Непрекращающееся финансирование псевдоспиритических наук вроде па-
рапсихологии и антиисторического вздора академика А. Т. Фоменко (зам.
академика-секретаря отделения математики РАН) еще ждет своего объясне-
ния.
2 С. Ю. Витте. Воспоминания. Т. 3, гл. 5.
3 В. Ф. Арнольд. Политико-экономические этюды. Одесса: Изд. Распопова.
1904. С. 5.
4 V. Pareto. Anwendung der Mathematik auf Nationalokonomie. Encyclope-
die der Mathematischen Wissenshaften, Band I, Heft 7. S. 1114.
5 Сама по себе рыночная экономика - не панацея: согласно знаменитой
теореме Дебре, она может в принципе приводить и не к устойчивости, а к
любому хаосу.
6 Мои французские коллеги объяснили мне, что Лаплас, будучи министром,
требовал, чтобы все счета сходились до копейки.
