Расширенный текст выступления на дискуссии о преподавании математики в
Palais de De-couverte в Париже 7 марта 1997 г.
Математика - часть физики. Физика - экспериментальная, естественная
наука, часть естествознания. Математика - это та часть физики, в кото-
рой эксперименты дешевы. Тождество Якоби (вынуждающее высоты треуголь-
ника пересекаться в одной точке) - такой же экспериментальный факт,
как то, что Земля кругла (т.е. гомеоморфна шару). Но обнаружить его
можно с меньшими затратами. В середине двадцатого века была предприня-
та попытка разделить математику и физику. Последствия оказались ка-
тастрофическими. Выросли целые поколения математиков, незнакомых с по-
ловиной своей науки и, естественно, не имеющих никакого представления
ни о каких других науках. Они начали учить своей уродливой схоласти-
ческой псевдоматематике сначала студентов, а потом и школьников (забыв
о предупреждении Харди, что для уродливой математики нет постоянного
места под Солнцем). Поскольку ни для преподавания, ни для приложений в
каких-либо других науках схоластическая, отрезанная от физики, матема-
тика не приспособлена, результатом оказалась всеобщая ненависть к ма-
тематикам - и со стороны несчастных школьников (некоторые из которых
со временем стали министрами), и со стороны пользователей.
Уродливое здание, построенное замученными комплексом неполноценности
математиками-недоучками, не сумевшими своевременно познакомиться с фи-
зикой, напоминает стройную аксиоматическую теорию нечетных чисел. Яс-
но, что такую теорию можно создать и заставить учеников восхищаться
совершенством и внутренней непротиворечивостью возникающей структуры
(в которой определена, например, сумма нечетного числа слагаемых и
произведение любого числа сомножителей). Четные же числа с этой сек-
тантской точки зрения можно либо объявить ересью, либо со временем
ввести в теорию, пополнив ее (уступая потребностям физики и реального
мира) некоторыми "идеальными" объектами.
К сожалению, именно подобное уродливое извращенное построение матема-
тики господствовало в преподавании математики в течение десятилетий.
Возникнув первоначально во Франции, это извращение быстро распростра-
нилось на обучение основам математики сперва студентов, а потом и
школьников всех специальностей (сперва во Франции, а потом и в других
странах, включая Россию). Ученик французской начальной школы на вопрос
"сколько будет 2+3" ответил: "3+2, так как сложение коммутативно". Он
не знал, чему равна эта сумма, и даже не понимал, о чем его спрашива-
ют! Другой французский школьник (на мой взгляд, вполне разумный) опре-
делил математику так: "там есть квадрат, но это нужно еще доказать".
По моему преподавательскому опыту во Франции, представление о матема-
тике у студентов (вплоть даже до обучающихся математике в Ecole Norma-
le Superieure - этих явно неглупых, но изуродованных ребят мне жалко
больше всего) - столь же убого, как у этого школьника.
Например, эти студенты никогда не видели параболоида, а вопрос о форме
поверхности, заданной уравнением xy=z^2, вызывает у математиков, обуча-
ющихся в ENS, ступор. Нарисовать на плоскости кривую, заданную пара-
метрическими уравнениями (вроде x=t^3-3t, y=t^4-2t^2) - задача совер-
шенно невыполнимая для студентов (и, вероятно, даже для большинства
французских профессоров математики).
Начиная с первого учебника анализа Лопиталя ("анализ для понимания
кривых линий") и примерно до учебника Гурса, умение решать подобные
задачи считалось (наряду со знанием таблицы умножения) необходимой
частью ремесла каждого математика. Обиженные Богом ревнители "абс-
трактной математики" выбросили из преподавания всю геометрию (через
которую в математике чаще всего осуществляется связь с физикой и ре-
альностью). Учебники анализа Гурса, Эрмита, Пикара недавно были выбро-
шены на свалку студенческой библиотекой Университетов Париж и (Жюсье)
как устаревшие и потому вредные (только благодаря моему вмешательству
удалось их спасти).
Студенты ENS, прослушавшие курсы дифференциальной и алгебраической ге-
ометрии (прочитанные уважаемыми математиками), оказались незнакомыми
ни с римановой поверхностью эллиптической кривой y^2=x^3+ax+b, ни во-
обще с топологической классификацией поверхностей (не говоря уже об
эллиптических интегралах первого рода и о групповом свойстве эллипти-
ческой кривой, т.е. о теореме сложения Эйлера-Абеля) - их учили лишь
структурам Ходжа и якобиевым многообразиям! Как могло сложиться такое
положение во Франции, давшей миру Лагранжа и Лапласа, Коши и Пуанкаре,
Лере и Тома? Мне кажется, разумное объяснение дал И.Г.Петровский,
учивший меня в 1966 году: настоящие математики не сбиваются в шайки,
но слабым шайки необходимы, чтобы выжить. Они могут объединяться по
разным принципам (будь то сверхабстрактность, антисемитизм или "прик-
ладная и индустриальная" проблематика), но сущностью всегда остается
решение социальной проблемы - самосохранение в условиях более грамот-
ного окружения.
Напомню, кстати, предостережение Л.Пастера - никогда не существовало и
не будет существовать никаких "прикладных наук", есть лишь приложения
наук (весьма полезные!). В те времена я относился к словам Петровского
с некоторым сомнением, но теперь я все более и более убеждаюсь, нас-
колько он был прав. Значительная часть сверхабстрактной деятельности
сводится просто к индустриализации беззастенчивого отнимания открытий
у первооткрывателей и их систематическому приписыванию эпигонам--обоб-
щателям. Подобно тому, как Америка не носит имя Колумба, математичес-
кие результаты почти никогда не называются именами их открывателей.
Во избежание кривотолков должен заметить, что мои собственные достиже-
ния почему-то никогда не подвергались подобной экспроприации, хотя это
постоянно случалось и с моими учителями (Колмогоровым, Петровским,
Понтрягиным, Рохлиным) и с учениками. Проф. М. Берри сформулировал од-
нажды следующие два принципа:
Принцип Арнольда. Если какое-либо понятие имеет персональное имя, то
это - не имя первооткрывателя.
Принцип Берри. Принцип Арнольда применим к самому себе.
Вернусь, однако, к преподаванию математики во Франции.
Когда я учился на первом курсе мех.-мата МГУ, лекции по анализу читал
теоретико-множественный тополог Л.А. Тумаркин, добросовестно переска-
зывающий старый классический курс анализа французского образца, типа
Гурса. Он сообщил нам, что интегралы от рациональных функций вдоль ал-
гебраической кривой берутся, если соответствующая риманова поверх-
ность - сфера, и, вообще говоря, не берутся, если род ее выше, и что
для сферичности достаточно существования на кривой данной степени дос-
таточно большого числа двойных точек (вынуждающих кривую быть уникур-
сальной: ее вещественные точки можно нарисовать на проективной плос-
кости единым росчерком пера). Эти факты настолько поражают воображе-
ние, что (даже сообщенные без всяких доказательств) дают большее и бо-
лее правильное понятие о современной математике, чем целые тома трак-
тата Бурбаки. Ведь мы узнаем здесь о существовании замечательной связи
между вещами на вид совершенно различными: существованием явного выра-
жения для интегралов и топологией соответствующей римановой поверхнос-
ти, с одной стороны, а с другой стороны - между числом двойных точек и
родом соответствующей римановой поверхности, проявляющемся вдобавок в
вещественной области в виде уникурсальности.
Уже Якоби заметил, как самое восхитительное свойство математики, что в
ней одна и та же функция управляет и представлениями целого числа в
виде суммы четырех квадратов, и истинным движением маятника. Эти отк-
рытия связей между разнородными математическими объектами можно срав-
нить с открытием связи электричества и магнетизма в физике или сходс-
тва восточного берега Америки с западным берегом Африки в геологии.
Эмоциональное значение таких открытий для преподавания трудно переоце-
нить. Именно они учат нас искать и находить подобные замечательные яв-
ления единства всего сущего. Дегеометризация математического образова-
ния и развод с физикой разрывает эти связи. Например, не только сту-
денты, но и современные алгебраические геометры в большинстве своем не
знают об упомянутом здесь Якоби факте: эллиптический интеграл первого
рода выражает время движения вдоль эллиптической фазовой кривой в со-
ответствующей гамильтоновой динамической системе. Перефразируя извест-
ные слова об электроне и атоме, можно сказать, что гипоциклоида столь
же неисчерпаема, как идеал в кольце многочленов. Но учить идеалам сту-
дентов, никогда не видевших гипоциклоиды, столь же нелепо, как учить
складывать дроби детей, никогда не разрезавших (хотя бы мысленно) на
равные доли ни яблоко, ни пирог. Неудивительно, что дети предпочтут
складывать числитель с числителем и знаменатель со знаменателем. От
моих французских друзей я слышал, что склонность к сверхабстрактным
обобщениям является их традиционной национальной чертой. Я не исклю-
чаю, что здесь действительно идет речь о наследственной болезни, но
все же хотел бы подчеркнуть, что пример с яблоком и пирогом я заимс-
твовал у Пуанкаре.
Схема построения математической теории совершенно такая же, как в лю-
бой естественной науке. Сначала мы рассматриваем какие-либо объекты и
делаем в частных случаях какие-то наблюдения. Потом мы пытаемся найти
пределы применимости своих наблюдений, ищем контрпримеры, предохраняю-
щие от неоправданного распространения наших наблюдений на слишком ши-
рокий круг явлений (пример: числа разбиений последовательных нечетных
чисел 1, 3, 5, 7, 9 на нечетное число натуральных слагаемых образуют
последовательность 1, 2, 4, 8, 16, но за этими числами следует 29).
В результате мы по возможности четко формулируем сделанное эмпиричес-
кое открытие (например, гипотезу Ферма или гипотезу Пуанкаре). После
этого наступает трудный период проверки того, насколько надежны полу-
ченные заключения. Здесь в математике разработана специальная техноло-
гия, которая, в применении к реальному миру, иногда полезна, а иногда
может приводить и к самообману. Эта технология называется моделирова-
нием. При построении модели происходит следующая идеализация: некото-
рые факты, известные лишь с некоторой долей вероятия или лишь с неко-
торой точностью, признаются "абсолютно" верными и принимаются за "ак-
сиомы". Смысл этой "абсолютности" состоит ровно в том, что мы позволя-
ем себе оперировать с этими "фактами" по правилам формальной логики,
объявляя "теоремами" все то, что из них можно вывести. Понятное дело,
что ни в какой реальной деятельности полностью полагаться на подобные
дедукции невозможно. Причиной является хотя бы то, что параметры изу-
чаемых явлений никогда не бывает известными нам абсолютно точно, а не-
большое изменение параметров (например, начальных условий процесса)
может совершенно изменить результат. Скажем, по этой причине надежный
долгосрочный динамический прогноз погоды невозможен и останется невоз-
можным, сколь бы ни совершенствовались компьютеры и регистрирующие на-
чальные условия датчики.
Совершенно таким же образом небольшое изменение аксиом (в которых ведь
мы точно уверены быть не можем) способно, вообще говоря, привести к
иным выводам, чем дают выведенные из принятых аксиом теоремы. И чем
длиннее и искуснее цепь выводов ("доказательств"), тем менее надежен
окончательный результат.
Сложные модели редко бывают полезными (разве что для диссертантов).
Математическая технология моделирования состоит в том, чтобы от этой
неприятности отвлечься и говорить о своей дедуктивной модели так, как
если бы она совпадала с реальностью. Тот факт, что этот - явно непра-
вильный с точки зрения естествознания - путь часто приводит к полезным
результатам в физике, называют "непостижимой эффективностью математики
в естественных науках" (или "принципом Вигнера"). Здесь можно добавить
замечание, принадлежащее И.М. Гельфанду: существует еще один феномен,
сравнимый по непостижимости с отмеченной Вигнером непостижимой эффек-
тивностью математики в физике - это столь же непостижимая неэффектив-
ность математики в биологии.
"Тонкий яд математического образования" (по выражению Ф. Клейна) для
физика состоит именно в том, что абсолютизируемая модель отрывается от
реальности и перестает с нею сравниваться. Вот самый простой пример:
математика учит нас, что решение уравнения Мальтуса dx/dt=x однозначно
определяется начальными условиями (т.е. что соответствующие интеграль-
ные кривые на плоскости (t,x) не пересекают друг друга). Этот вывод
математической модели имеет мало отношения к реальности. Компьютерный
эксперимент показывает, что все эти интегральные кривые имеют общие
точки на отрицательной полуоси t. И действительно, скажем, кривые с
начальными условиями x(0)=0 и x(0)=1 при t=-10 практически пересекают-
ся, а при t=-100 между ними нельзя вставить и атома. Свойства прост-
ранства на столь малых расстояниях вовсе не описываются евклидовой ге-
ометрией. Применение теоремы единственности в этой ситуации - явное
превышение точности модели. При практическом применении модели это на-
до иметь в виду, иначе можно столкнуться с серьезными неприятностями.
Замечу, впрочем, что та же теорема единственности объясняет, почему
заключительный этап швартовки корабля к пристани проводится вручную:
при управлении, когда скорость причаливания определяется как гладкая
(линейная) функция от расстояния, для причаливания потребовалось бы
бесконечное время. Альтернативой является удар о причал (демпфируемый
надлежащими неидеально упругими телами). Между прочим, с этой пробле-
мой пришлось всерьез столкнуться при посадке первых же спускаемых ап-
паратов на Луну и Марс, а также при причаливании к космическим станци-
ям - здесь теорема единственности работает против нас.
К сожалению, ни подобные примеры, ни обсуждение опасности фетишизиро-
вания теорем не встречаются в современных учебниках математики, даже
лучших. У меня даже создалось впечатление, что математики-схоласты
(мало знакомые с физикой) верят в принципиальное отличие аксиоматичес-
кой математики от обычного в естествознании моделирования (всегда нуж-
дающегося в последующем контроле выводов экспериментом). Не говоря уже
об относительном характере исходных аксиом, нельзя забывать о неизбеж-
ности логических ошибок в длинных рассуждениях (скажем, в виде сбоя в
компьютере, вызванного космическими лучами или квантовыми осцилляция-
ми). Каждый работающий математик знает, что если не контролировать се-
бя (лучше всего - примерами), то уже через какой-нибудь десяток стра-
ниц половина знаков в формулах будет переврана, а двойки из знаменате-
лей проникнут в числители. Технология борьбы с подобными ошибками -
такой же внешний контроль экспериментами или наблюдениями, как и в лю-
бой экспериментальной науке, и ему следует с самого начала учить
школьников младших классов.
Попытки создания "чистой" дедуктивно-аксиоматической математики приве-
ли к отказу от обычной в физике схемы (наблюдение - модель - исследо-
вание модели - выводы - проверка наблюдениями) и замена ее схемой: оп-
ределение - теорема - доказательство. Понять немотивированное опреде-
ление невозможно, но это не останавливает преступных алгебраистов-ак-
сиоматизаторов. Например, они были бы готовы определить произведение
натуральных чисел при помощи правила умножения "столбиком". Коммута-
тивность умножения становится при этом трудно доказываемой, но все же
выводимой из аксиом теоремой. Эту теорему и ее доказательство можно
затем заставить учить несчастных студентов (с целью повысить авторитет
как самой науки, так и обучающих ей лиц). Понятно, что ни такие опре-
деления, ни такие доказательства, ни для целей преподавания, ни для
практической деятельности, ничего, кроме вреда, принести не могут. По-
нять коммутативность умножения можно, только либо пересчитывая выстро-
енных солдат по рядам и по шеренгам, либо вычисляя двумя способами
площадь прямоугольника. Попытки обойтись без этого вмешательства физи-
ки и реальности в математику - сектанство и изоляционизм, разрушающие
образ математики как полезной человеческой деятельности в глазах всех
разумных людей. Раскрою еще несколько подобных секретов (в интересах
несчастных студентов).
Определитель матрицы - это (ориентированный) объем параллелепипеда,
ребра которого - ее столбцы. Если сообщить студентам эту тайну (тща-
тельно скрываемую в выхолощенном алгебраическом преподавании), то вся
теория детерминантов становится понятной главой теории полилинейных
форм. Если же определять детерминанты иначе, то у каждого разумного
человека на всю жизнь останется отвращение и к определителям, и к яко-
бианам, и к теореме о неявной функции.
Что такое группа? Алгебраисты учат, будто это множество с двумя опера-
циями, удовлетворяющими куче легко забываемых аксиом. Это определение
вызывает естественный протест: зачем разумному человеку такие пары
операций? "Да пропади она пропадом, эта математика" - заключает сту-
дент (делающийся в будущем, возможно, министром науки). Положение ста-
новится совершенно иным, если начать не с группы, а с понятия преобра-
зования (взаимно-однозначного отображения множества в себя), как это и
было исторически. Набор преобразований какого-либо множества называет-
ся группой, если вместе с любыми двумя преобразованиями он содержит
результат их последовательного применения, а вместе с каждым преобра-
зованием - обратное преобразование. Вот и все определение - так назы-
ваемые "аксиомы" - это на самом деле (очевидные) свойства групп преоб-
разований. То, что аксиоматизаторы называют "абстрактными группами" -
это просто группы преобразований различных множеств, рассматриваемые с
точностью до изоморфизма (взаимно-однозначного отображения, сохраняю-
щего операции). Никаких "более абстрактных" групп в природе не сущест-
вует, как это доказал Кэли. Зачем же алгебраисты до сих пор мучают
студентов абстрактным определением? Между прочим, в 1960-е годы я пре-
подавал теорию групп московским школьникам. Избегая аксиоматики и ос-
таваясь возможно ближе к физике, я за полгода дошел до теоремы Абеля о
неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах (научив
школьников попутно комплексным числам, римановым поверхностям, фунда-
ментальным группам и группам монодромии алгебраических функций). Этот
курс впоследствии был опубликован одним из слушателей, В. Алексеевым,
в виде книги "Теорема Абеля в задачах".
Что такое гладкое многообразие? В недавней американской книге я про-
чел, что Пуанкаре не был знаком с этим (введенным в математику им са-
мим) понятием, и что "современное" определение дано лишь в конце
1920-х годов Вебленом: многообразие - это топологические пространство,
удовлетворяющее длинному ряду аксиом.
За какие грехи вынуждены студенты продираться через все эти ухищрения?
На самом деле в Analysis Situs Пуанкаре имеется совершенно явное опре-
деление гладкого многообразия, которое гораздо полезнее "абстрактно-
го". Гладкое k-мерное подмногообразие евклидова пространства R^N -
это его подмножество, которое в окрестности каждой своей точки предс-
тавляет собой график гладкого отображения R^k в R^(N-k) (где R^k и
R^(N-k) - координатные подпространства). Это - прямое обобщение самых
обычных гладких кривых на плоскости (скажем, окружности x^2+y^2=1) или
кривых и поверхностей в трехмерном пространстве. Между гладкими много-
образиями естественно определяются гладкие отображения. Диффеоморфиз-
мы - это отображения, гладкие вместе со своими обратными. "Абстракт-
ное" гладкое многообразие - это гладкое подмногообразие какого-либо
евклидова пространства, рассматриваемое с точностью до диффеоморфизма.
Никаких "более абстрактных" конечномерных гладких многообразий в при-
роде не существует (теорема Уитни). Зачем же мы до сих пор мучаем сту-
дентов абстрактным определениям? Не лучше ли доказать им теорему о яв-
ной классификации двумерных замкнутых многообразий (поверхностей)?
Именно эта замечательная теорема (утверждающая, например, что всякая
компактная связная ориентируемая поверхность - это сфера с некоторым
числом ручек) дает правильное представление о том, что такое современ-
ная математика, а вовсе не сверхабстрактные обобщения наивных подмно-
гообразий евклидова пространства, не дающие на самом деле ничего ново-
го и выдаваемые аксиоматизаторами за достижения. Теорема о классифика-
ции поверхностей - математическое достижение высшего класса, сравнимое
с открытием Америки или рентгеновских лучей. Это настоящее открытие
математического естествознания, и даже трудно сказать, принадлежит ли
сам факт математике или физике. По своему значению и для приложений, и
для выработки правильного мировоззрения он далеко превосходит такие
"достижения" математики, как решение проблемы Ферма или доказательство
того, что всякое достаточно большое целое число представляется в виде
суммы трех простых чисел.
Ради рекламы современные математики иногда выдают подобные спортивные
достижения за последнее слово своей науки. Понятно, что это не только
не способствует высокой оценке математики обществом, а, напротив, вы-
зывает здоровое недоверие к необходимости затраты усилий на занятия
(типа скалолазания) этими экзотическими и неизвестно зачем и кому нуж-
ными вопросами. Теорема о классификации поверхностей должна была бы
входить в курсы математики средней школы (вероятно, без доказательст-
ва), но не входит почему-то даже в университетские курсы математики
(из которых во Франции, впрочем, за последние десятилетия изгнана во-
обще вся геометрия).
Возвращение преподавания математики на всех уровнях от схоластической
болтовни к изложению важной естественнонаучной области - особенно
насущная задача для Франции. Для меня было удивительным, что студентам
здесь практически неизвестны (и, кажется, не переводились на французс-
кий язык) все самые лучшие и важные в методическом отношении математи-
ческие книги: "Числа и фигуры" Радемахера и Теплица, "Наглядная гео-
метрия" Гильберта и Кон-Фоссена, "Что такое математика" Куранта и Роб-
бинса, "Как решать задачу" и "Математика и правдоподобные рассуждения"
Полиа, "Лекции о развитии математики в девятнадцатом столетии"
Ф. Клейна. Я хорошо помню, какое сильное впечатление произвел на меня
в школьные годы курс анализа Эрмита (существующий, между прочим, в
русском переводе!). Римановы поверхности появлялись в нем, кажется, в
одной из первых лекций (весь анализ был, конечно, комплексным, как это
и должно быть). Асимптотики интегралов исследовались при помощи дефор-
маций путей на римановых поверхностях при движении точек ветвления
(теперь мы это назвали бы теорией Пикара--Лефшеца; Пикар, кстати, был
зятем Эрмита - математические способности часто передаются зятьям: ди-
настия Адамар - П. Леви - Л. Шварц - У. Фриш - еще один знаменитый
пример в Парижской Академии наук).
"Устарелый" курс Эрмита столетней давности (вероятно, выкинутый ныне
из студенческих библиотек французских университетов) был гораздо сов-
ременнее, чем те скучнейшие учебники анализа, которыми теперь мучают
студентов. Если математики не образумятся сами, то потребители, сохра-
нившие как нужду в современной в лучшем смысле слова математической
теории, так и свойственный каждому здравомыслящему человеку иммунитет
к бесполезной аксиоматической болтовне, в конце концов откажутся от
услуг схоластов-недоучек и в университетах, и в школах.
Преподаватель математики, не одолевший хотя бы части томов курса Лан-
дау и Лифшица, станет тогда таким же ископаемым, как сейчас - не знаю-
щий разницы между открытым и замкнутым множеством.
